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平均変化率と微分 微分係数との関係をわかりやすく解説

微分係数と導関数

平均変化率は微分の基礎となる重要な概念です。

平均変化率」と聞くと難しい気がしますが、実は身近に接している概念です。

例えば、車で走行したら1時間後60km進んでいました、このときの平均時速は60km/hですが、この時速がまさに平均変化率の一例です。

微分は物理学や統計解析、機械学習などを理解するためにも重要ですので概念を理解していおくと役立つかもしれません。ここでは人工知能を使いこなすための基礎数学として微分を中高レベルから復習していこうと思います。

こめやん

数学が苦手でも理解しやすいようにできるだけ詳しく書いたのでくどく感じるかもしれません。

平均変化率って何?

平均変化率は「時間変化」をイメージするのがわかりやすいです。

例えば「平均睡眠時間」を計算してみましょう。

3日間のうち睡眠時間は5時間、4時間、6時間のとき、一日あたりの平均睡眠時間は、(5+4+6)時間÷3日間=5時間/1日です。

各日の睡眠時間がバラバラでも3日間集計して日にちで割れば「日にちあたりの平均睡眠時間→平均変化率」がわかります。

x軸を日にち、y軸を睡眠時間としたとき、平均睡眠時間をグラフに表すとy=5xになります。

y=5xのグラフ

y=5xにおいて、xの値を0から2まで変化させたとき、yは0から10に変化します。このときのxの変化に対するyの変化の割合は

平均変化率

この5がxの値が0→2まで変化させたときのyの平均変化率です。

こめやん

上の図でいうと1次関数の傾きが平均変化率になっていますね

平均変化率と微分係数の違い

二次関数での平均変化率

この平均変化率を二次関数で考えてみます。y軸を距離[m]、x軸を秒数としたとき、物体が垂直に落下したときの時間と距離の関係は以下の式のようになります。

二次関数の平均変化率

この二次関数の1→2秒におけるyの平均変化率は上記のように15m/sになります。

また、0→1秒におけるyの平均変化率は、(5-0)/(1-0)=5[m/s]になります。

こめやん

同じ1秒間なのに平均の速度は1→2秒の間のほうが速くなっていますね?

adeno

物体の落下は加速していくので速度は時間が経つほど速くなるから仕方ないですね

y=5x^2のグラフ

瞬間の速さと極限

では瞬間の速さってどうやって求めればよいでしょうか?

こめやん

1秒間よりも、もっと短い0.001秒とかにすれば瞬間の速さがだいたい分かるのでは?

限りなく短い時間(0.00..1秒)などの時間の変化を見れば瞬間の速さに近い値がわかります。

こめやん

でもごく短い時間って0.00000….1秒のように小数点以下の0の数が多いほど短い時間になるけど無限に続かない?

adeno

そのとおりで0秒に限りなく近づきます。このようにある値に限りなく近づく値を極限(limit)と言います

では時間を短くしていくと変化率にどのような変化が起こるか見てみましょう。

1.98秒→2.00秒における距離の平均変化率は(20-19.602)[m] ÷ 0.02[秒]=19.9m/s

1.99秒→2.00秒における距離の平均変化率は(20-19.8005)[m] ÷ 0.01[秒]=19.95m/s

1.99999 → 2.00000秒における距離の平均変化率は (20-19.9998000005)[m] ÷ 0.00001[秒] = 19.99995 m/s

こめやん

どうやら20m/sに限りなく近づいていくようですね

adeno

はい。0に限りなく近い0.00..1秒(瞬間)で計算すると20m/sに限りなく近づきますが、20m/sにはなりません。

瞬間の平均変化率

瞬間の変化率を文字式を使って表してみましょう。

こめやん

これまではxを2秒から2.1秒という具体的な数字にしていましたが、これを文字に置き換えるだけです。

関数はf(x)=5x2。ごく短い時間をh秒としたとき、2秒-h秒(1.999秒のような値)から2秒にいたるまでの平均変化率を先程と同じように計算します。

こめやん

y=5x2とf(x)=5x2は表記が違うだけです。f(x)表記はxに2を入れたときのyの値をf(2)と表せて便利なので今後はこの表記で書きます

hで計算

ここでは瞬間の変化率を求めたいので、h秒は0に限りなく近い値に設定します。

hが限りなく0に近づくと-5hは0に近似します。よって ≒20m/sとなります。

このようにhを限りなく0に近づけた時に平均変化率は限りなくある値に近づきます。この値を極限値とよびます。

(2-h)→2秒のように1.999秒→2秒の平均変化率を見ましたが、2秒→(2+h)として、2秒→2.00…1秒の平均変化率をみてもどちらも2秒における瞬間を見るという点では同じです。この計算を解くと5(4+h)となり、hを限りなく0に近づけると同様に20m/sに限りなく近づきます。

limの読み方と表記の仕方

hがある値に限りなく近づくことを表現するには「lim」を使います。

limの表記

これは、「hを0に限りなく近づける」という意味です。この式は「hを0に近づけたときのhの極限」を表しています。hが関数:f(x)や0が無限大:∞であるときもあります。

「lim」は英語でlimit:極限の意味です。

この式の読み方は、英語でも日本語でも決まっておらず、人によって読み方が異なるようです。 Limit as h approaches 0 あるいは limit of h as h goes to 0 などと読みます。

日本語では英語読みすると長くなるので、「リミット hを0」などと読むようです。

平均変化率と微分係数

長い期間ではなくごく短い瞬間の変化率が微分係数になります。

これ以上細かくできないほど細にけること→微分というようなイメージです。

文字式をつかって一般化してみましょう。

関数f(x)のとき、xがaからbまで変化するとf(x)はf(a)→f(b)に変化します。つまりf(x)の平均変化率は、f(b)-f(a) ÷ b-aです。

aからbまでの変化をごく短い時間h経過後の変化は a→a+hとします。すると上の式の「b」は「a+h」になります。hを0に近づけると極限値が求まります。

微分係数の一般式

関数f(x)に対して、極限値 f’(a)をx=aにおける微分係数といいます。

(公式1) f(x)のx=aにおける微分係数は

微分係数はxの値によって変化します。これをaのような固定の値(2とか5とか)としてではなく、様々な値を取る変数 xで微分したものを導関数といいます。

f(x)=5x2の導関数を求めるとf'(x)=10xとなります。

こめやん

導関数と微分係数の違いがわかりにくいですね

微分係数はf(x)の接線の傾きになる

f(x)=5x2のとき、導関数f'(x)=10xです。

このときx=1のときの微分係数はf'(1)=10です。

関数f(x)を通る接線の傾きが微分係数になります。接線とはf(x)上の点だけを接するように通る線です。

接線の座標はf(x)=5x2上の点なのでx=1を代入して(1, 5)になります。

二次関数を通る接線は 微分係数10を傾きとなる1次関数なのでy=10x+bです。

座標を代入するとb=-5なので点(1,5)を通る接線の方程式はy=10x-5です。

接線の方程式

極限で使うhの意味

極限値を表す式では、hを文字として利用しますが、これには意味があるのでしょうか?

結論から言うと、hがなぜ使用されているかは不明です。とりわけ「h」が何かの頭文字というわけでは無いようです。

極限値を表す数式のなかでhが使われるようになったのは、19世紀です。
18世紀最大の数学者と名高いラグランジュおよびその業績を書としてまとめたラクロワは「h」を使用していたようです。
オームも1829年に出した論文中でhを使用しています。
その一方で1850年代複素解析で有名なフランスの数学者コーシーは「h」ではなく「i」を使っていたようです。
iは「increment:増加」を表す頭文字として数列などでもよく利用される頭文字であるため、hに変更されたとする見方が多いようです。

こめやん

数学でよく利用されている文字としては、f(x)等で利用される「Function」のf、その次のgもよく使います。gの次のhは他で使われておらず被らないので使われているんでしょうかね?

微分の記述法

微分、導関数の記述法にはたくさんあって混乱することもあるとおもいます。

よく利用される関数f(x)の導関数f'(x)という記述方法はラグランジュの記法です。

またd/dxの記法はライプニッツの記法です。

ライプニッツの記法

物理ではニュートンの記法といって関数yに対して上に「・」をつける記法もあります。

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